Hệ đếm, biểu diễn thông tin trong máy tính

Bởi

trannhuomedu

9 Tháng Chín, 2020

20698

Hệ đếm

Là tập hợp các ký hiệu và quy tắc sử dụng tập ký hiệu đó để biểu diễn và xác định các giá trị các số.
Mỗi hệ đếm có một số ký số (digits) hữu hạn. Tổng số ký số của mỗi hệ đếm gọi là cơ số (base hay radix).

Ví dụ:

Cơ số 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Cơ số 8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Cơ số 16: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Cơ số 2: 0, 1.

Số N trong hệ đếm cơ số b được biểu diễn như sau:

N(b)=a_nbⁿ+a_n-1b^n-1+a_n-2b^n-2+…+a₀b⁰+a_-1b^-1+a_-2b^-2+…+a_-mb^-m

Cách biểu diễn thông tin trong máy tính

Mọi dữ liệu khi đưa vào máy tính đều phải được mã hóa thành số nhị phân.
Do có ưu điểm tính toán đơn giản, dễ dàng thực hiện về mặt vật lý, chẳng hạn như trên các mạch điện tử, hệ nhị phân trở thành một phần kiến tạo căn bản trong máy tính.
Hệ nhị phân dùng hai ký số 0 và 1, chúng thường được dùng để biểu đạt hai giá trị hiệu điện thế tương ứng.
Các hệ đếm khi nghiên cứu máy tính:
- Hệ thập phân (decimal system) → con người sử dụng.
- Hệ nhị phân (binary system) → máy tính sử dụng.
- Hệ hệ bát phân (octal system) → dùng để viết gọn số nhị phân.
- Hệ thập lục (hexadecimal system) → dùng để viết gọn số nhị phân.
Số nhị phân:
- Số nhị phân thường được viết tắt là BIT. Trong thuật ngữ máy tính, bit nghĩa là 0 hoặc 1.
- Số nhị phân gồm n bit được gọi là số n-bit.
- Số 3-bit có 2³ = 8 giá trị từ (0 đến 7), số n-bit có 2ⁿ giá trị (0 đến 2ⁿ-1).

Chuyển đổi giữa các cơ số

1. Chuyển từ thập phân sang cơ số d bất kỳ

a. Chuyển phần nguyên

Lần lượt chia cho cơ số d cho đến khi thương số bằng 0.
Kết quả là các dư số trong phép chia viết ra theo thứ tự ngược lại.

Ví dụ: Số 12₁₀ = ?₂

Kết quả: 12₁₀ = 1100₂

b. Chuyển phần thập phân

Lấy phần thập phân lần lượt nhân với d cho đến khi phần thập phân của tích số bằng 0.
Kết quả là các số phần nguyên trong phép nhân viết ra theo thứ tự tính toán.

Ví dụ: Số 0.6875₁₀ = ?₂

0.6875 * 2 = 1.375
0.375 * 2 = 0.75
0.75 * 2 = 1.5
0.5 * 2 = 1.0

Kết quả: 0.6875₁₀ = 0.1011₂

2. Chuyển từ cơ số bất kỳ d sang thập phân

Áp dụng công thức: A=a_nCⁿ+a_n-1C^n-1+a_n-2C^n-2+…+a₀C⁰+a_-1C^-1+a_-2C^-2+…+a_-mC^-m

Ví dụ 1: Chuyển 10010111₂ sang hệ thập phân, xác định hệ cơ số cần chuyển là d=2.

Ta có: A = 1×2⁷+0x2⁶+0x2⁵+1×2⁴+0x2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰ = 128+0+0+16+0+4+2+1
= 151

Ví dụ 2: Chuyển 97₁₆ sang hệ thập phân, xác định hệ cơ số cần chuyển là d=16.

Ta có: A=9×16¹+7×16⁰= 144 + 7 = 151

Ví dụ 3: Chuyển 227₈ sang hệ thập phân, xác định hệ cơ số cần chuyển là d=8.

Ta có: A=2×8²+2×8¹+7×8⁰=128+16+7=151

3. Chuyển từ cơ số bất kỳ a sang b

Bước 1: Chuyển số a sang hệ thập phân.
Bước 2: Chuyển số hệ thập phân thu được sang cơ số b.

Ví dụ: Số 545₆ = ?₄

Bước 1: Chuyển 545 từ hệ 6 sang hệ 10
545 = 5 x 6² +4 x 6¹ +5 x 6⁰
= 5 x 36 +4 x 6 +5 x 1
= 180 + 24 +5
= 209₁₀
Bước 2: Chuyển 209₁₀ = 3101₄

Kết quả: 545₆ = 209₁₀ = 3101₄

4. Chuyển nhanh giữa các hệ cơ số 2, 8 và 16

a. Nhị phân sang bát phân

Bước 1: Chia số nhị phân thành các nhóm, mỗi nhóm gồm ba chữ số (bắt đầu từ phải qua).
Bước 2: Chuyển mỗi nhóm 3 chữ số thành 1 số hệ bát phân.

Ví dụ: Số 101110₂ = ?₈

101₂ = 1 x 2² +0 x 2¹+1 x 2⁰= 4 + 0 + 1 = 5₁₀ = 5₈

110₂ = 1 x 2² +1 x 2¹ +0 x 2⁰ = 4 +2+0 = 6₁₀ = 6₈

Kết quả: 101110₂ = 56₈

b. Bát phân sang Nhị phân

Bước 1: Chuyển mỗi số bát phân thành 3 số nhị phân.
Bước 2: Kết nối tất cả các nhóm nhị phân (mỗi nhóm có 3 số) thành một số nhị phân.

Ví dụ: Số 562₈ = ?₂

5₈ = 101₂
6₈ = 110₂
2₈ = 010₂

Kết quả: 562₈ = 101110010₂

c. Thập lục phân sang Nhị phân

Bước 1: Chuyển mỗi ký số thập lục phân sang số thập phân, mỗi số thập phân chuyển thành số nhị phân gồm 4 ký số.
Bước 2: Kết nối tất cả các nhóm nhị phân (mỗi nhóm có 4 số) thành một số nhị phân.

Ví dụ: Số 2AB₁₆ = ?₂

2₁₆ = 2₁₀= 0010₂A₁₆ = 10₁₀ = 1010₂
B₁₆ = 11₁₀ = 1011₂

Kết quả: 2AB₁₆ = 001010101011₂